Doktorarbeit:
Beispiele von mathematisch erzeugten Isoflächen.
Isoflächen von eingescannten Datensätzen.
Die Aufgabenstellung der Isoflächen-Extraktion ist es,
zu einer gegebenen Funktion f mit dreidimensionalem Definitionsbereich
die Lösungsmenge der Gleichung f(x,y,z)=c zu ermitteln, wobei
c ein gegebener Isowert ist. Im hier bearbeiteten Fall ist f
durch ein diskretes dreidimensionales Array a[x,y,z] an
Gitterpunkten gegeben, so dass f(x,y,z)=a[x,y,z] für die
ganzzahligen Werte x=0,1,2,...,xmax, y=0,1,2,...,ymax
und z=0,1,2,...,zmax gilt.
Die dadurch bestimmten Gitterpunkte begrenzen insgesamt xmax*ymax*zmax
kleine Würfel, die sogenannten Zellen. Jeder dieser Zellen ist
ein charakteristisches Intervall zugeordnet, das vom Minimum der Werte
a[x,y,z] an ihren Eckpunkten und dem Maximum dieser Werte begrenzt
ist.
Wenn die vorliegende Funktion f stetig ist, dann ist dadurch
nach dem Zwischenwertsatz gesichert, dass die Gleichung f(x,y,z)=c
Lösungen innerhalb jeder Zelle hat, für die der Isowert c
in ihrem charakteristischen Intervall liegt. Die gesuchte Isofläche
verläuft also durch alle Zellen, für die diese Intervallbedingung
erfüllt ist.
Um die Menge dieser Zellen zu bestimmen, besteht die Möglichkeit,
sämtliche xmax*ymax*zmax Zellen auf die Intervallbedingung zu
testen. Dies ist aber sehr zeitaufwändig. Um die Suchzeit zu
verkürzen, kann man z. B. im Vorverarbeitungsschritt einen
hierarchischen Zerlegungsbaum für die Volumendaten aufbauen, der in
jedem Knoten das Minimum und das Maximum aller im dazugehörigen
Bereich enthaltenen Datenwerte enthält. Dadurch wird während
der Extraktion Zeit gespart, weil nur die Teile des Datensatzes
durchsucht werden müssen, die tatsächlich Zellen mit einem
Teil der Isofläche enthalten.
Eine noch schnellere Extraktion wird dadurch ermöglicht, dass
sämtliche Zellen nach den Grenzen ihres charakteristischen
Intervalls geordnet in eine neue Datenstruktur eingefügt werden.
Diese Datenstruktur kann z. B. ein Intervallbaum oder ein kd-Tree sein.
Der Nachteil dieser schnellen Extraktion ist allerdings, dass diese
Datenstruktur viel Speicher benötigt. In der untenstehenden
Abbildung wird der sogenannte Span Space gezeigt, in dem die Zellen
geordnet nach ihren Intervallgrenzen dargestellt sind. Die Intervalle der
Zellen, durch die die Isofläche läuft, sind dabei im grauen
Bereich zu finden.
In meiner Dissertation stelle ich eine Methode der Isoflächen-Extraktion
vor, die eine hybride, parameterabhängige Datenstruktur verwendet.
Unter Verwendung eines Optimierungsverfahrens ist es möglich, zu jeder
Größe des zur Verfügung stehenden Speichers eine dazu
passende Datenstruktur zu konstruieren, die diesen Speicher zugunsten
der höchsten damit möglichen Extraktionsgeschwindigkeit
ausschöpft. Die nächste Abbildung zeigt am Beispiel des
Xmas-Tree-Datensatzes (250 MB), wie die Extraktionsgeschwindigkeit mit
wachsendem Speicher steigt.
